حل تمرین صفحه 92 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 1 این تمرین برای یادگیری و تثبیت دو قانون اصلی **ضرب اعداد توان‌دار** با استفاده از جایگذاری عددهای مختلف است. ### ۱. قانون پایه‌های مساوی: $a^b \times a^c = a^{b+c}$ در این قانون، باید **پایه ($a$)** ثابت باشد و توان‌ها ($b$ و $c$) جمع شوند. **انتخاب اعداد:** $a=۳$ (پایه)، $b=۲$ (توان اول)، $c=۴$ (توان دوم) * **سمت چپ (حاصل ضرب):** $$۳^۲ \times ۳^۴ = ۹ \times ۸۱ = ۷۲۹$$ * **سمت راست (جمع توان‌ها):** $$۳^{۲+۴} = ۳^۶ = ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ = ۹ \times ۹ \times ۹ = ۷۲۹$$ **تساوی عددی:** $$۳^۲ \times ۳^۴ = ۳^{۲+۴} = ۳^۶$$ ### ۲. قانون توان‌های مساوی: $a^c \times b^c = (a \times b)^c$ در این قانون، باید **توان ($c$)** ثابت باشد و پایه‌ها ($a$ و $b$) در هم ضرب شوند. **انتخاب اعداد:** $a=۲$ (پایه اول)، $b=۵$ (پایه دوم)، $c=۳$ (توان) * **سمت چپ (حاصل ضرب توان‌ها):** $$۲^۳ \times ۵^۳ = ox{۸} \times \box{۱۲۵} = ۱۰۰۰$$ * **سمت راست (ضرب پایه‌ها):** $$(۲ \times ۵)^۳ = (۱۰)^۳ = ۱۰ \times ۱۰ \times ۱۰ = ۱۰۰۰$$ **تساوی عددی:** $$۲^۳ \times ۵^۳ = (۲ \times ۵)^۳ = ۱۰^۳$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 2 برای حل این تمرین، باید هر عدد را به **عوامل اول** تجزیه کنیم. عوامل اول، اعدادی هستند که فقط بر خودشان و یک بخش‌پذیرند ($۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ...$). ### ۱. تجزیه ۱۲۱ * عدد ۱۲۱ بر هیچ‌یک از اعداد اول کوچک بخش‌پذیر نیست. اگر مربع اعداد اول را بررسی کنیم، متوجه می‌شویم: $$۱۰^۲ = ۱۰۰ \quad \text{و} \quad ۱۱^۲ = ۱۲۱$$ * **تجزیه:** $۱۲۱ = ۱۱ \times ۱۱$ * **به صورت توان‌دار:** $$۱۲۱ = ۱۱^۲$$ ### ۲. تجزیه ۲۵۶ * عدد ۲۵۶ یک توان کامل از ۲ است. با تقسیم متوالی بر ۲، عوامل آن را پیدا می‌کنیم: $$۲۵۶ \div ۲ = ۱۲۸$$ $$۱۲۸ \div ۲ = ۶۴$$ $$۶۴ \div ۲ = ۳۲$$ $$۳۲ \div ۲ = ۱۶$$ $$۱۶ \div ۲ = ۸$$ $$۸ \div ۲ = ۴$$ $$۴ \div ۲ = ۲$$ $$۲ \div ۲ = ۱$$ * **تجزیه:** $۲۵۶ = ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲$ (هشت بار) * **به صورت توان‌دار:** $$۲۵۶ = ۲^۸$$ ### ۳. تجزیه ۲۴۱ * عدد ۲۴۱ را باید بر اعداد اول آزمایش کنیم. اگر $\sqrt{۲۴۱} \approx ۱۵/۵$ باشد، باید تا عدد ۱۳ آزمایش کنیم. * بر ۲، ۳، ۵ بخش‌پذیر نیست. * $۲۴۱ \div ۷ = ۳۴$ باقی‌مانده $۳$ * $۲۴۱ \div ۱۱ = ۲۱$ باقی‌مانده $۱۰$ * $۲۴۱ \div ۱۳ = ۱۸$ باقی‌مانده $۷$ * **نتیجه:** ۲۴۱ به نظر یک **عدد اول** می‌آید و قابل تجزیه نیست. * **به صورت توان‌دار:** $$۲۴۱ = ۲۴۱^۱$$ ### ۴. تجزیه ۱۰۰۰۰ * عدد ۱۰۰۰۰ یک توان کامل از ۱۰ است. ابتدا آن را به توان ۱۰ می‌نویسیم، سپس ۱۰ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: $$۱۰۰۰۰ = ۱۰^۴$$ $$۱۰ = ۲ \times ۵$$ * **تجزیه به عوامل اول:** $۱۰۰۰۰ = (۲ \times ۵)^۴ = ۲^۴ \times ۵^۴$ * **به صورت توان‌دار:** $$۱۰۰۰۰ = ۱۰^۴ \quad \text{یا} \quad ۲^۴ \times ۵^۴$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 3 این تمرین برای تقویت درک شما از تفاوت بین **ضرب تکراری (توان)** و **جمع تکراری (ضرب معمولی)** بسیار مفید است. شما باید سه مسئله طرح کنید که پاسخ آن‌ها به ترتیب شامل توان و ضرب معمولی باشد. ### الف) پاسخ: $۳^۲$ $۳^۲$ به معنای **مجذور ۳** است، یعنی $۳ \times ۳ = ۹$. این یک موقعیت **مساحت** یا **تعداد ردیف‌ها و ستون‌های مساوی** را نشان می‌دهد. **مسئله:** علی در حال کاشی‌کاری یک مربع است. اگر طول ضلع این مربع **۳** کاشی باشد، علی به چند کاشی نیاز دارد؟ $$\text{جواب: } ۳ \times ۳ = ۳^۲ = ۹ \text{ کاشی}$$ ### ب) پاسخ: $۲ \times ۳$ $۲ \times ۳$ به معنای **۲ دسته ۳ تایی** یا **جمع تکراری ۳** است، یعنی $۳ + ۳ = ۶$. این یک موقعیت **جمع یا گروه بندی ساده** را نشان می‌دهد. **مسئله:** مریم برای تزیین کیک به **۳** ردیف شمع نیاز دارد و در هر ردیف **۲** شمع قرار می‌دهد. او در مجموع چند شمع استفاده کرده است؟ $$\text{جواب: } ۳ \times ۲ = ۶ \text{ شمع}$$ ### ج) پاسخ: $۵^۲$ $۵^۲$ به معنای **مجذور ۵** است، یعنی $۵ \times ۵ = ۲۵$. این یک موقعیت **رشد نمایی اولیه** یا **مساحت مربع** را نشان می‌دهد. **مسئله:** یک استخر پرورش ماهی به شکل مربع است. اگر طول ضلع این استخر **۵** متر باشد، مساحت آن چند متر مربع است؟ $$\text{جواب: } ۵ \times ۵ = ۵^۲ = ۲۵ \text{ متر مربع}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 4 برای مقایسه و مرتب کردن اعداد توان‌دار که نه پایه‌های مساوی دارند و نه توان‌های مساوی، باید تا حد امکان آن‌ها را به **پایه مشترک** یا **توان مشترک** تبدیل کنیم. اگر این کار ممکن نبود، باید حاصل عددی آن‌ها را محاسبه کنیم. ### گام ۱: ساده‌سازی و تبدیل به پایه مشترک 1. $$۹^۲ = (۳^۲)^۲ = ۳^{۲ \times ۲} = ۳^۴$$ 2. $$۴^{۱۰} = (۲^۲)^{۱۰} = ۲^{۲ \times ۱۰} = ۲^{۲۰}$$ (چون ۴ قابل تبدیل به پایه ۲ است.) 3. $$۶^{۱۰}$$ (پایه ۶) 4. $$۶^۸$$ (پایه ۶) 5. $$۳^۵$$ (پایه ۳) **اعداد نهایی برای مقایسه:** $۳^۵$، $۲^{۲۰}$، $۶^{۱۰}$، $۶^۸$، $۳^۴$ ### گام ۲: مقایسه با پایه‌های مساوی * **مقایسه $۶^{۱۰}$ و $۶^۸$:** چون $۱۰ > ۸$، پس: $$۶^{۱۰} > ۶^۸$$ * **مقایسه $۳^۵$ و $۳^۴$:** چون $۵ > ۴$، پس: $$۳^۵ > ۳^۴$$ ### گام ۳: محاسبه و مقایسه نهایی حالا ۴ عدد $۳^۴$، $۳^۵$، $۶^۸$ و $۶^{۱۰}$، و $۲^{۲۰}$ را مقایسه می‌کنیم: * $۳^۴ = ۸۱$ (کوچکترین) * $۳^۵ = ۲۴۳$ * $۶^۸ = ۱,۶۷۹,۶۱۶$ * $۶^{۱۰} = َ۶۰,۴۶۶,۱۷۶$ * $۲^{۲۰} = (۲^{۱۰})^۲ = (۱۰۲۴)^۲ = ۱,۰۴۸,۵۷۶$ **ترتیب از کوچک به بزرگ:** $$۸۱ < ۲۴۳ < ۱,۰۴۸,۵۷۶ < ۱,۶۷۹,۶۱۶ < ۶۰,۴۶۶,۱۷۶$$ ### گام ۴: مرتب‌سازی اعداد اصلی $$۹^۲ < ۳^۵ < ۴^{۱۰} < ۶^۸ < ۶^{۱۰}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 5 این تمرین شامل بررسی قوانین مختلف ضرب و جمع اعداد توان‌دار است. ### ۱. $۴^۳ \times ۴^۲ = ۴^۵$ * **قانون:** ضرب با پایه‌های مساوی. توان‌ها جمع می‌شوند ($۳+۲=۵$). * **نتیجه:** **درست** است. ($۴^۵ = ۴^{۳+۲}$) ### ۲. $۳^۲ \times ۳^۳ = ۹^۵$ * **قانون صحیح:** ضرب با پایه‌های مساوی. باید $۳^{۲+۳} = ۳^۵$ باشد. * **نتیجه:** **نادرست** است. * **علت نادرستی:** هم پایه را در هم ضرب کرده ($۳ \times ۳ = ۹$) و هم توان‌ها را جمع کرده‌اند. باید فقط توان‌ها جمع می‌شدند ($۳^۵$). ### ۳. $۳^۳ + ۳^۲ = ۶^۵$ * **قانون صحیح:** هیچ قانون ساده‌کننده‌ای برای جمع دو توان با پایه‌های مساوی وجود ندارد. باید ابتدا حاصل هر توان را حساب کرد: $۳^۳ + ۳^۲ = ۲۷ + ۹ = ۳۶$. * **مقایسه:** $۶^۵ = ۷۷۷۶$. $۳۶ \neq ۷۷۷۶$. * **نتیجه:** **نادرست** است. * **علت نادرستی:** توان‌ها در جمع، نه جمع می‌شوند و نه پایه‌ها ضرب می‌شوند. ### ۴. $۳^۴ \times ۴^۷ = ۴^{۱۱}$ * **قانون صحیح:** نه پایه‌ها و نه توان‌ها مساوی هستند. نمی‌توان ساده کرد. (باید $۳^۴ \times ۴^۷$ باقی بماند.) * **نتیجه:** **نادرست** است. * **علت نادرستی:** از قوانین ضرب به اشتباه استفاده شده است. ### ۵. $۳^۲ \times ۲^۳ = ۶^۵$ * **قانون صحیح:** نه پایه‌ها و نه توان‌ها مساوی هستند. باید ابتدا حاصل هر توان را حساب کرد: $۳^۲ \times ۲^۳ = ۹ \times ۸ = ۷۲$. * **مقایسه:** $۶^۵ = ۷۷۷۶$. $۷۲ \neq ۷۷۷۶$. * **نتیجه:** **نادرست** است. * **علت نادرستی:** پایه‌ها را ضرب و توان‌ها را جمع کرده‌اند که اشتباه است. ### ۶. $۴^۱ + ۳^۱ = ۷^۱$ * **قانون صحیح:** باید ابتدا حاصل توان‌ها را حساب کرد: $۴^۱ + ۳^۱ = ۴ + ۳ = ۷$. * **مقایسه:** $۷^۱ = ۷$. $۷ = ۷$. * **نتیجه:** **درست** است. (این فقط یک تساوی عددی درست است، نه یک قانون توان در حالت کلی.) ### ۷. $(-۲)^۳ \times ۷^۳ = (-۱۴)^۳$ * **قانون:** ضرب با توان‌های مساوی ($۳$). پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند: $(-۲) \times ۷ = -۱۴$. * **نتیجه:** **درست** است. ($(-۲ \times ۷)^۳ = (-۱۴)^۳$) ### ۸. $$\left(-\frac{۲}{۳}\right)^۵ \times \left(-\frac{۲}{۳}\right)^۲ = \left(-\frac{۲}{۳}\right)^۷$$ * **قانون:** ضرب با پایه‌های مساوی ($-\frac{۲}{۳}$). توان‌ها جمع می‌شوند ($۵+۲=۷$). * **نتیجه:** **درست** است. (قانون $a^m \times a^n = a^{m+n}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 6 برای پاسخ به این سؤال، باید تعریف **توان** برای یک **کسر** را به خاطر بیاوریم. **تعریف توان:** عبارت توان‌دار $(\frac{۲}{۳})^۳$ یعنی کسر $\frac{۲}{۳}$ باید **سه بار** در خودش **ضرب** شود. $$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۳ = \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳}$$ حالا گزینه‌های موجود را بررسی می‌کنیم: 1. **$$\frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳}$$:** این دقیقاً مطابق تعریف توان برای کسر است. **(درست)** 2. **$$\frac{۲+۲+۲}{۳}$$:** این عبارت $$\frac{۶}{۳} = ۲$$ را نشان می‌دهد که با $(\frac{۲}{۳})^۳ = \frac{۸}{۲۷}$ برابر نیست. (نادرست) 3. **$$\frac{۳ \times ۲}{۳}$$:** این عبارت $$\frac{۶}{۳} = ۲$$ را نشان می‌دهد. (نادرست) 4. **$$\frac{۲}{۳} \times ۳$$:** این عبارت $$\frac{۶}{۳} = ۲$$ را نشان می‌دهد. (نادرست) 5. **$$\frac{۲}{۳} + \frac{۲}{۳} + \frac{۲}{۳}$$:** این عبارت $$\frac{۲+۲+۲}{۳} = \frac{۶}{۳} = ۲$$ را نشان می‌دهد. (نادرست) 6. **$$\frac{۲}{۳} + ۳$$:** این عبارت $$\frac{۲}{۳} + \frac{۹}{۳} = \frac{۱۱}{۳}$$ را نشان می‌دهد. (نادرست) **تنها عبارت صحیح:** $$\frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 8 این تمرین یک الگوی جالب در مورد **تفریق مربع‌ها** یا همان اتحاد **مزدوج** را معرفی می‌کند، که به طور خاص در مثلث‌های قائم الزاویه با اضلاع عددی صحیح (قضیه فیثاغورس) کاربرد دارد. هدف پر کردن جاهای خالی به گونه‌ای است که تساوی برقرار باشد. ### الف) تکمیل جاهای خالی باید بررسی کنیم که حاصل تفاضل دو مربع در سمت چپ، مجذور (توان ۲) چه عددی است. 1. **$۳^۲ - ۱^۲ = ۹ - ۱ = ۸$** * ۸ مجذور یک عدد صحیح نیست. (شاید منظور از الگو، ضرب مجموع و تفاضل باشد یا یک اشتباه چاپی در سوال باشد، اما برای حفظ الگوهای عددی صحیح: $$\text{فرض می‌کنیم منظور سوال چیز دیگری بوده است. اگر از الگوهای } \mathbf{x^۲ - y^۲ = z^۲} \text{ استفاده کنیم:}$$ $$\mathbf{۳^۲ - ۱^۲} = ox{۸}$$ (با توجه به الگوهای رایج کتاب، فرض می‌کنیم الگو به دنبال اعداد فیثاغورثی بوده و این یک استثنا یا اشتباه در کتاب است. اما اگر با استفاده از اتحاد مزدوج پیش برویم: $۳^۲-۱^۲ = (۳-۱)(۳+۱) = ۲ \times ۴ = ۸$). **ما بر اساس الگوی ناتمام در تصاویر بعدی (که به اعداد فیثاغورثی اشاره دارند) پیش می‌رویم و سعی می‌کنیم پاسخ‌هایی بنویسیم که مجذور کامل باشند:** * **ردیف ۱:** $۵^۲ - ۳^۲ = ۲۵ - ۹ = ۱۶ = 4^۲$. (فرض می‌کنیم سوال **$۵^۲ - ۳^۲$** بوده است.) * **ردیف ۲:** $۱۳^۲ - ۵^۲ = ۱۶۹ - ۲۵ = ۱۴۴ = ۱۲^۲$. (فرض می‌کنیم سوال **$۱۳^۲ - ۵^۲$** بوده است.) **اما بر اساس متن دقیق تصویر:** 2. **$۳^۲ - ۱^۲ = ۸$**. این عدد مجذور هیچ عدد صحیحی نیست. (باید $۸$ بنویسیم و این یک استثنا است.) $$\mathbf{۳^۲ - ۱^۲} = (\mathbf{\sqrt{۸}})^۲$$ (غلط برای الگو) 3. **$۶^۲ - ۳^۲ = ۳۶ - ۹ = ۲۷$**. این عدد مجذور هیچ عدد صحیحی نیست. $$\mathbf{۶^۲ - ۳^۲} = (\mathbf{\sqrt{۲۷}})^۲$$ (غلط برای الگو) 4. **$۱۰^۲ - ۶^۲ = ۱۰۰ - ۳۶ = ۶۴$**. $\mathbf{۶۴ = ۸^۲}$ $$۱۰^۲ - ۶^۲ = (\mathbf{۸})^۲$$ 5. **$۱۵^۲ - ۸^۲ = ۲۲۵ - ۶۴ = ۱۶۱$**. این عدد مجذور هیچ عدد صحیحی نیست. $$\mathbf{۱۵^۲ - ۸^۲} = (\mathbf{\sqrt{۱۶۱}})^۲$$ (غلط برای الگو) 6. **$۲۱^۲ - ۱۲^۲ = ۴۴۱ - ۱۴۴ = ۲۹۷$**. این عدد مجذور هیچ عدد صحیحی نیست. $$\mathbf{۲۱^۲ - ۱۲^۲} = (\mathbf{\sqrt{۲۹۷}})^۲$$ (غلط برای الگو) **با توجه به اینکه فقط مورد $۱۰^۲ - ۶^۲$ به یک مجذور کامل می‌رسد، احتمالاً این الگو به دنبال یک قاعده عمومی برای مثلث‌های قائم‌الزاویه نیست و هدف صرفاً تکمیل محاسبات است.** **پاسخ صحیح (با فرض اینکه جاهای خالی باید با عدد صحیح پر شوند):** * $۳^۲ - ۱^۲ = ۸ \neq (\quad)^۲$ * $۶^۲ - ۳^۲ = ۲۷ \neq (\quad)^۲$ * $۱۰^۲ - ۶^۲ = ۶۴ = (\mathbf{۸})^۲$ * $۱۵^۲ - ۸^۲ = ۱۶۱ \neq (\quad)^۲$ * $۲۱^۲ - ۱۲^۲ = ۲۹۷ \neq (\quad)^۲$ ### ب) الگویی که مشاهده می‌شود و یک تساوی دیگر با فرض اینکه الگو از **اعدادی که اختلافشان یک عدد فرد است** تبعیت می‌کند و در حالت عادی مجذور نیستند، الگوی خاصی مشاهده نمی‌شود، به جز در حالتی که اعداد از **مثلث‌های فیثاغورثی** گرفته شده باشند (مانند $۵^۲ - ۴^۲ = ۳^۲$ یا $۱۳^۲ - ۵^۲ = ۱۲^۲$). **اگر تنها پاسخ ممکن را ۸ بگیریم:** $۱۰^۲ - ۶^۲ = ۸^۲$ **تساوی دیگر:** باید یک سه تایی فیثاغورثی دیگر پیدا کنیم، مثلاً $\mathbf{۱۷^۲ - ۱۵^۲ = ۸^۲}$ $$۱۷^۲ - ۱۵^۲ = (۱۷ - ۱۵)(۱۷ + ۱۵) = ۲ \times ۳۲ = ۶۴ = ۸^۲$$ ### ج) آیا این الگو برای $۲^۲ - ۱^۲ = (\quad)^۲$ درست است؟ * **محاسبه:** $$۲^۲ - ۱^۲ = ۴ - ۱ = ۳$$ * **مقایسه:** $۳$ مجذور یک عدد صحیح نیست. * **نتیجه:** **نادرست** است. این الگو (تبدیل به مجذور کامل) برای هر جفت عدد دلخواه کار نمی‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 92 - تمرین 9 برای تعیین عملگر صحیح، ابتدا باید حاصل عددی تمام عبارت‌های توان‌دار را محاسبه کنیم تا ببینیم در هر حالت، دو عدد سمت چپ با چه عملی به حاصل سمت راست می‌رسند. ### ۱. $۲^۵ \Box ۸ = ۴$ * **حاصل توان‌ها:** $۲^۵ = ۳۲$ و $۸$ * **تساوی عددی:** $۳۲ \Box ۸ = ۴$ * **بررسی عملگرها:** * $۳۲ + ۸ = ۴۰ \neq ۴$ * $۳۲ - ۸ = ۲۴ \neq ۴$ * $۳۲ \times ۸ = ۲۵۶ \neq ۴$ * $۳۲ \div ۸ = ۴$ * **نتیجه:** عملگر $\div$ (تقسیم) است. ### ۲. $۳^۲ \Box ۷^۲ = ۵۸$ * **حاصل توان‌ها:** $۳^۲ = ۹$ و $۷^۲ = ۴۹$ * **تساوی عددی:** $۹ \Box ۴۹ = ۵۸$ * **بررسی عملگرها:** * $۹ + ۴۹ = ۵۸$ * **نتیجه:** عملگر $+$ (جمع) است. ### ۳. $(-۷)^۰ \Box ۸^۱ = ۳^۲$ * **حاصل توان‌ها:** $(-۷)^۰ = ۱$ (توان صفر) و $۸^۱ = ۸$ (توان یک) و $۳^۲ = ۹$ * **تساوی عددی:** $۱ \Box ۸ = ۹$ * **بررسی عملگرها:** * $۱ + ۸ = ۹$ * **نتیجه:** عملگر $+$ (جمع) است. ### ۴. $۲^۶ \Box ۱۶ = ۲^۰ \Box ۲^۲$ * **حاصل توان‌ها (سمت چپ):** $۲^۶ = ۶۴$ و $۱۶$ * **حاصل توان‌ها (سمت راست):** $۲^۰ = ۱$ و $۲^۲ = ۴$ * **تساوی عددی:** $۶۴ \Box ۱۶ = ۱ \Box ۴$ **ابتدا سمت راست را با ضرب یا جمع برابر ۴ می‌کنیم:** $۱ \times ۴ = ۴$ و $۱ + ۴ = ۵$. اگر $۴$ فرض شود، سمت راست $۴$ می‌شود. * **حالت ۱ (سمت راست $=$ ۴):** $۶۴ \Box ۱۶ = ۴$ * $۶۴ \div ۱۶ = ۴$ * پس سمت چپ $\div$ است. سمت راست می‌تواند $\times$ یا $+$ باشد. * **حالت ۲ (سمت راست $=$ ۵):** $۶۴ \Box ۱۶ = ۵$ * این حالت ممکن نیست. **تنها ترکیب ممکن (با فرض اینکه سمت راست $۱ \times ۴ = ۴$ یا $۱+۳=۴$ است):** $$۶۴ \div ۱۶ = ۴$$ $$\text{و } ۲^۰ \times ۲^۲ = ۱ \times ۴ = ۴$$ (یا $۲^۰ + ۲^۲ = ۵$ که برقرار نیست) **نتیجه:** عملگر اول $\div$ و عملگر دوم $\times$ است. $$\mathbf{۲^۶ \div ۱۶ = ۲^۰ \times ۲^۲}$$ | عبارت | عملگر اول | عملگر دوم | | :---: | :---: | :---: | | $۲^۵ \Box ۸ = ۴$ | $\div$ | | | $۳^۲ \Box ۷^۲ = ۵۸$ | $+$ | | | $(-۷)^۰ \Box ۸^۱ = ۳^۲$ | $+$ | | | $۲^۶ \Box ۱۶ = ۲^۰ \Box ۲^۲$ | $\div$ | $\times$ |